沁缘师说|唐东磊:从三次数学危机谈起
发布时间: 2020-11-21 浏览次数: 10

沁缘师说|唐东磊:从三次数学危机谈起

1120日周五晚18:30,沁园书院邀请到了统计与数学学院的唐东磊教授,在沁缘书吧为我们带来主题为“从三次数学危机谈起”的讲座。


唐老师运用专业的术语和严谨的证明,向同学们详细讲述了数学历史上的三次数学危机。


第一次数学危机


公元前5世纪,数学的认知还处在有理数阶段,对于无理数的概念一无所知。当时的人们,尤其是毕达哥拉斯学派,认为一切量都可以用有理数来表示。在这样的背景条件下,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约,直接挑战了毕达哥拉斯学派的信条,冲击了古希腊人数学认知,引起了人们的恐慌,造成了数学上的第一次危机。


第一次数学危机的解决办法——建立实数理论。康托用基本序列定义了实数,实数的相等、大于、小于的关系;并且还定义了零、正数与负数,证明了实数系是完备的。魏尔斯特拉斯把正有理数定义为自然数对;负整数定义为另一类型的自然数对,再把负有理数定义为一对正负整数,得到了今天通用的定义。自此,第一次数学危机圆满解决。


第二次数学危机


第二次数学危机来源于微积分工具的使用。牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的,两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。


经过柯西用极限的方法定义了无穷小量,微积分理论得以发展和完善,他通过变量概念给出极限定义;用极限定义无穷小量与无穷大量,高阶无穷小量及高阶无穷大量。从而使数学大厦变得更加辉煌美丽。


第三次数学危机


十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。


可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。可以说,这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。


最终,数学家通过公理化集合系统成功排除了集合论中出现的悖论,但时至今日,第三次数学危机还不能说已从根本上消除了,因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。


此次讲座唐老师运用绘声绘色的数学故事,丰富了同学们的数学学科知识,增进了对数学历史发展的了解,培养了对数学这一学科的兴趣,可谓受益匪浅。